Сумма геометрической прогрессии с первым членом 1, знаменателем 2 и n членами равна 2^n - 1:
Доказательство:
База индукции:
При n = 1, 1 + 2 = 2^1 - 1 = 3 - 1 = 2, так что формула верна.
Шаг индукции:
Предположим, что формула верна для n = k, то есть:
Докажем, что она также верна для n = k+1.
Рассмотрим сумму 1 + 2 + 2^2 + ... + 2^(k-1) + 2^k.
Подставив 2^k - 1 вместо 1 + 2 + 2^2 + ... + 2^(k-1), получаем: (2^k - 1) + 2^k
Сложив члены, получаем: 2^(k+1) - 1
Это 2^n - 1, где n = k+1.
Следовательно, формула верна для n = k+1.
Вывод:
Поскольку формула верна для n = 1 и для всех n = k, где k - любое натуральное число, она верна для всех натуральных чисел n.