Сумма кубов первых n натуральных чисел равна квадрату суммы первых n натуральных чисел:
Доказательство:
База индукции:
При n = 1, 1^3 = 1, и правая часть также равна 1, так что формула верна.
Шаг индукции:
Предположим, что формула верна для n = k, то есть:
Докажем, что она также верна для n = k+1.
Рассмотрим сумму 1^3 + 2^3 + ... + k^3 + (k+1)^3.
Подставив (1 + 2 + ... + k)^2 вместо 1^3 + 2^3 + ... + k^3, получаем: (1 + 2 + ... + k)^2 + (k+1)^3
Раскрыв скобки и упростив, получаем: (k + 1)^2 [k + 2]
Это произведение (k+1)^2 и k+2.
(k+1)^2 = (1 + 2 + ... + k)^2
Подставив (1 + 2 + ... + k)^2 вместо (k+1)^2, получаем: (1 + 2 + ... + k)^2 [k + 2]
Это произведение (1 + 2 + ... + k)^2 и k+2.
(1 + 2 + ... + k + k+1)^2 = (1 + 2 + ... + n)^2, где n = k+1.
Следовательно, формула верна для n = k+1.
Вывод:
Поскольку формула верна для n = 1 и для всех n = k, где k - любое натуральное число, она верна для всех натуральных чисел n.