Сумма квадратов первых n натуральных чисел равна произведению n, n+1 и 2n+1, деленному на 6:
Доказательство:
База индукции:
При n = 1, 1^2 = 1, и правая часть также равна 1, так что формула верна.
Шаг индукции:
Предположим, что формула верна для n = k, то есть:
Докажем, что она также верна для n = k+1.
Рассмотрим сумму 1^2 + 2^2 + ... + k^2 + (k+1)^2.
Подставив k(k+1)(2k+1) / 6 вместо 1^2 + 2^2 + ... + k^2, получаем:
k(k+1)(2k+1) / 6 + (k+1)^2
Раскрыв скобки и упростив, получаем:
(k+1)(k+2)(2k+3) / 6
Это произведение n, n+1 и 2n+1, деленное на 6, где n = k+1.
Следовательно, формула верна для n = k+1
Вывод:
Поскольку формула верна для n = 1 и для всех n = k, где k - любое натуральное число, она верна для всех натуральных чисел n.